湖南宁远一中2017年_2018学年高中二年级上学期第一次月考数学理试题[A卷]含答案及解析

发布时间:2021-09-24 10:30:19

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远一中 2016 年下期高二第一次月考

数学试题(理 A) (2016.9.29)

命题:李冬昌 审题:龙小* 满分:150 分 时量:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.不在 3x+2y<6 表示的*面区域内的一个点是( )

(A)(0,0)

(B)(1,1)

(C)(0,2)

(D)(2,0)

2.在△ABC 中,A∶B∶C=4∶1∶1,则 a∶b∶c 等于( )

(A) ∶1∶1

(B)2∶1∶1

(C) ∶1∶2

(D)3∶1∶1

3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于(

)

(A) 2n (B) 2n +1 (C) 2n -1

(D) 2n?1

4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,c·cos A=b,则△ABC( )

(A)一定是锐角三角形

(B)一定是钝角三角形

(C)一定是直角三角形

(D)一定是斜三角形

5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7 a9a11

?

243

,则

a

2 9

a11

的值为(

)

(A)1

(B)2

(C)3

(D)9

6.已知 a+b>0,b<0,那么 a、b、-a、-b 的大小关系是( )

(A)a>b>-b>-a

(B)a>-b>-a >b

(C)a>-b>b>-a

(D)a>b>-a>-b

? ? 7.数列{an}满足

a1=1, an

?

an?1 (n an?1 ?1

?

2)

,则数列

an ? an?1

的前 10 项和为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

8.设 A ? b ? a ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b, B ? ?x2 ? 4x ? 2 ,则 A 与 B 的大小关系是 ab
()

(A)A≥B

(B)A>B

(C)A<B

(D)A≤B

9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则△ABC 的面积为(

)

(A) 3 3

(B) 2 3 ? 3

(C) 3 4

(D) 3 6

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10.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,

则 S10 的值为( )

(A)-110

(B)-90

(C)90

(D)110

11.已知 m>n>0,则 m ? n 2 ? mn ? 4 的最小值为( ) m?n

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

?3x ? y ? 6 ? 0

12.设

x,y

满足条件

? ?

x

?

y

?

2

?

0

若目标函数

z

?

ax

? by

(a>0,b>0)的最大值为

10,则

?? x ? 0, y ? 0

2 ? 3 的最小值为( ) ab

(A)25

(B)19

(C)13

(D)5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.函数 y= 3- 2x - x2 的定义域是

.

14.设等比数列

?an

?的公比

q=2,前

n

项和为

S

n

,则

S4 a2

?

.

15.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 h 后,

船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°,这时船与灯塔距离为

km.

16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是________. 1
432 56789 16 15 14 13 12 11 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……………… 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面
积为 23,c=2,A=60°,求 a、b 及角 C 的值.

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18.(本小题满分 12 分)已知等差数列?an ?, a2 ? 9 , a5 ? 21 , (1)求?an ?的通项公式; ? ? (2)若 bn ? 2an ,求数列 bn 的前 n 项和 S n .
19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 sin xcos x-3sin2x-cos2x+2. (1)求 f(x)的最大值; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足= ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 求 f(B)的值.
20.(本小题满分 12 分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任 务.该公司有 8 辆载重 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重为10 t 的 B 型卡车,有10 名驾驶员,每辆卡 车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次, B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元, B 型为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低? 若只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少?
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21.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 tx2-6x+t2<0 的解集是(-∞,a)∪(1,+∞);函数
f ?x? ? ? 1 tx2 ? 2 ax ? 8 .
33
(1)求 a 和 t 的值; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),

a1=12.

(1)求证:{S1n}是等差数列;

(2)求 an 的表达式;

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b23+…+bn2<1.

宁远一中 2016 年下期高二第一次月考 数学试题(理 A) (2016.9.29)
(满分:150 分 时量:120 分钟)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.不在 3x+2y<6 表示的*面区域内的一个点是( D )

(A)(0,0)

(B)(1,1)

(C)(0,2)

(D)(2,0)

解析:3×2+2×0=6,故选 D.

2.在△ABC 中,A∶B∶C=4∶1∶1,则 a∶b∶c 等于( A )

(A) ∶1∶1

(B)2∶1∶1

(C) ∶1∶2

解析:由 A∶B∶C=4∶1∶1 知 A=120°,B=30°,C=30°,

(D)3∶1∶1

所以 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶ = ∶1∶1,故选 A.

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3.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于( B )

(A)2n

(B)2n+1

(C)2n-1

(D)2n+1

解析:由于 3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是 an=2n+1,故选 B.

4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,c·cos A=b,则△ABC( C )

(A)一定是锐角三角形

(B)一定是钝角三角形

(C)一定是直角三角形

(D)一定是斜三角形

解析:∵c·cos A=b,∴c·

=b,∴b2+c2-a2=2b2,∴a2+b2=c2.故选 C.

5.在等比数列{an}中,若 a3a5a7 a9a11

?

243

,则

a

2 9

a11

的值为(

C

)

(A)1

(B)2

(C)3

(D)9

解析:因为{an}是等比数列,所以 a3a11=a5a9= ,因此 a3a5a7a9a11= =243,解得 a7=3,

又因为 =a7a11,所以 =a7=3.故选 C.

6.已知 a+b>0,b<0,那么 a、b、-a、-b 的大小关系是( C )

A.a>b>-b>-a

B.a>-b>-a >b

C.a>-b>b>-a

D. a>b>-a>-b

? ? 7.数列{an}满足

a1=1, an

?

an?1 (n an?1 ?1

?

2)

,则数列

an ? an?1

的前 10 项和为为(

B

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:依题意 an>0 且 n≥2 时, =1+ ,即 - =1,∴数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差

数列,∴ 1 an

?

n ,an

?

1 n

,?

an

?

an?1

?

1
n?n ?1?

?

1 n

? 1 ,∴S10=
n ?1

-

+

-

+…+

-

=

.

故选 B.

8. 设 A ? b ? a ,其中 a、b 是正实数,且 a≠b, B ? ?x2 ? 4x ? 2 ,则 A 与 B 的大小关系是 ab
(B)
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(A)A≥B

(B)A>B

(C)A<B

(D)A≤B

解析:∵a,b 都是正实数,且 a≠b,∴A= + >2

=2,即 A>2,

B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+2≤2,即 B≤2,∴A>B.

9.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则△ABC 的面积为( A )

(A) 3 3

(B) 2 3 ? 3

(C) 3 4

(D) 3 6

解析:由已知得 a2+b2-c2+2ab=4,由于 C=60°,所以 cos C=

=,

即 a2+b2-c2=ab,因此 ab+2ab=4,ab= , S ? 1 ab ? sin C ? 3 ;故选 A.

2

3

10.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,

则 S10 的值为( D )

(A)-110

(B)-90

(C)90

(D)110

解析:由题意得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.S10=10a1+ ×(-2)=110.故选 D.

11.已知 m>n>0, 则 m ? n 2 ? mn ? 4 的最小值为( C ) m?n
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:由 m>n>0 知 m-n>0,m+

=m+

=m-n+ ≥2

=4,

当且仅当 m-n=2 时取等号.故选 C.

?3x ? y ? 6 ? 0

12.



x,y

满足条件

? ?

x

?

y

?

2

?

0

,若目标函数

z

?

ax ? by

(a>0,b>0)的最大值为 10,则

?? x ? 0, y ? 0

2 ? 3 的最小值为( D ) ab

(A)25 (B)19

(C)13

(D)5

解析:画出不等式组表示的*面区域如图所示(阴影部分).

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由 z=ax+by 知 y=- x+ ,故该直线经过可行域内的点 A 时,z 有最大值,





∴zmax=4a+6b=10,即 2a+3b=5,

∴ + = 1 (2a+3b)( + )= 1 (13+ + )≥ 1 (13+2×6

5

5

5

2a+3b=5, 即 a=b=1 时等号成立.故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.函数 y= 3- 2x - x2 的定义域是

.??3,1?

)= 1 ×25=5,当且仅当 = ,且 5

14.设等比数列

?an

?的公比

q=2,前

n

项和为

S

n

,则

S4 a2

?

.

解析:设{an}的首项为 a1,则 S4=15a1,a2=2a1, = .答案:

15.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 h 后,

船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°,这时船与灯塔距离为

km.

解析:如图所示,由题意可知,

AC=15×4=60(km),∠CAB=30°,∠ACB=105°,∴∠ABC=180°-30°-105°=45°.

在△ABC 中,由正弦定理知

=

,∴BC=

=

=30 (km).

答案:30
16.观察下面的数阵,则第 20 行第 9 个数是________. 1
432
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56789 16 15 14 13 12 11 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25
………………

答案 392

解析 由题得每一行数字个数分别为 a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n-1,它们成等差

数列,则前 20 行总共有 20?a1 ? a20 ? = 20?1 ? 39? =400 个数,

2

2

因此第 20 行第 1 个数为 400,第 9 个数即为 392.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若△ABC 面 积为 23,c=2,A=60°,求 a、b 及角 C 的值.
解析 因为 S=12bcsinA= 23,所以12b·2sin60°= 23,得 b=1. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,所以 a2=12+22-2×1×2cos60°=3,则 a= 3.
又由正弦定理sianA=sincC,得 sinC=csianA=2×323=1,∴C=90°.

18.(本小题满分 12 分)已知等差数列?an ?, a2 ? 9 , a5 ? 21 ,

(1)求?an ?的通项公式;

? ? (2)若 bn ? 2an ,求数列 bn 的前 n 项和 S n .

解:(1) 设数列 {an} 的公差为 d,则 a5=a2+3d.得 21=9+3d,∴

∴ an = a2 + (n-2) d = 4n + 1

(2) ∵ bn = 2 an,



bn = 24n+1,



bn+1 bn

= 16,

∴ {bn} 是以 16 为公比的等比数列.b1=25=32,



Sn =

32(1-16n) 1-16

=

32 15

(16n-1)

d = 4,

19.已知函数 f(x)=2 sin xcos x-3sin2x-cos2x+2. (1)求 f(x)的最大值;

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(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值. 解:(1)f(x)= sin 2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)= sin 2x+cos2x-sin2x

= sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ).∴f(x)的最大值是 2.
(2)由 sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C)得 sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C);化简得 sin C=2sin A, 由正弦定理得 c=2a.又 b= a,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A=3a2+4a2-4 a2cos A

∴cos A= ,∴A= ,B= ,C= ,∴f(B)=f( )=2sin =1.

20.(本小题满分 12 分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任 务.该公司有 8 辆载重 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重为10 t 的 B 型卡车,有10 名驾驶员,每辆卡 车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次, B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元, B 型为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低? 若只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少?

解:设需 A 型、 B 型卡车分别为 x 辆和 y 辆.列表分析数据.

A 型车

B 型车

限量

车辆数

x

y

10

运物吨数

24x

30 y

180

费用

320x

由表可知 x , y 满足的线性条件:

?x ? y ≤10

??24 x ??0 ≤

? x

30 ≤

y 8

≥180



??0 ≤ y ≤ 4

且 z ? 320x ? 504 y .

作出线性区域,如图所示,可知当
直线 z ? 320x ? 504 y 过 A(7.5,0) 时,

z 最小,但 A(7.5,0) 不是整点,继续

504 y y
4 O

z

D

C

B

8 A

x

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向上*移直线 z ? 320x ? 504 y 可知, (5,2) 是最优解.这时

zmin ? 320? 5 ? 504? 2 ? 2 608 (元),即用 5 辆 A 型车, 2 辆 B 型车,成本费最低.
若只用 A 型车,成本费为 8?320 ? 2560(元),只用 B 型车,成本费为 180 ? 504 ? 3024 30
(元).

21.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 tx2-6x+t2<0 的解集是(-∞,a)∪(1,+∞);函数
f ?x? ? ? 1 tx2 ? 2 ax ? 8 .
33
(1)求 a 和 t 的值; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.

解:(1)依题意可得

解得 t=-3,a=-3.

(2)由(1)f(x)=x2-2x-8.当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立,

∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即 x2-4x+7≥m(x-1).∴对一切 x>2,均有不等式

≥m 成立.



=(x-1)+ -2≥2

-2=2.(当且仅当 x-1= 即 x=3 时等号成立)

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2].

21.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),

a1=12.

(1)求证:{S1n}是等差数列;

(2)求 an 的表达式; (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b23+…+bn2<1.

(1)证明 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,又 an+2Sn·Sn-1=0,所以 Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0.

若 Sn=0,则 a1=S1=0 与 a1=12矛盾.故 Sn≠0,所以S1n-Sn1-1=2.

又S11=2,所以{S1n}是首项为 2,公差为 2 的等差数列. (2)解析 由(1)得S1n=2+(n-1)·2=2n,故 Sn=21n(n∈N+). 当 n≥2 时,an=-2Sn·Sn-1=-2·21n·2?n1-1?=-2n?n1-1?;

当 n=1 时,a1=12.

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??12,n=1,

? 所以 an= -

1

,n≥2.

?? 2n?n-1?

(3)证明 当 n≥2 时,bn=2(1-n)·an=2(1-n)·2n?11-n?=1n. b22+b23+…+b2n=212+312+…+n12<1×1 2+2×1 3+…+?n-11?n=(1-12)+(12-13)+…+(n-1 1 -1n)=1-1n<1.

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